Déterminer la somme \(F+G\), dire si cette somme est directe et si les sous-espaces \(F\) et \(G\) sont supplémentaires $$\begin{align}&F=\{(x,y,z)\in{\Bbb R}^3\mid x-y+z=0\}\\ \quad\text{ et }\quad&G=\{(x,y,z)\in{\Bbb R}^3\mid x-2y=x+3z=0\}\end{align}$$

Déterminant de la matrice associée \(\to\) somme directe
On calcule le déterminant de la matrice du sytème associé : $$\begin{vmatrix}1&-1&1\\ 1&-2&0\\ 1&0&3\end{vmatrix}=-1\neq0$$ donc la seule solution est nulle
\(F+G=\{0\}\) \(\Rightarrow\) somme directe

Regarder les dimensions \(\to\) supplémentaires

$$\operatorname{dim}({\Bbb R}^3)=\operatorname{dim} (F)+\operatorname{dim}(G)$$donc \(F\) et \(G\) sont supplémentaires

(Déterminant)